met core gan....kesempatan kali ini ane mau bebagi dikit makalah tentang fungsi nilai kebenaran.
ok dah langsung aja yach.....
Prepared
by:
LAKSMI LINDO (11 313 390)
KARLOS
TEMPO (07 311 045)
A.PENDAHULUAN
Kebenaran suatu teori yang dikemukakan oleh setiap
ilmuwan matematika,maupun para ahli merupakan hal yang sangat menetukan
reputasi mereka Untuk mendapatkan hal tersebut, mereka akan berusaha untuk
mengaitkan suatu fakta atau data dengan fakta lainya. Logika adalah cabang ilmu
pengetahuan yang mempelajari tentang penalaran yang berhubungan dengan
pembuktian validitas suatu argumen. Cara berpikir dengan benar dengan dasar
logika ini dapat dijadikan program dan dapat dilaksanakan oleh komputer, sehingga
komputer dapat melakukan kemampuan berpikir walaupun secara sederhana.
BAB II
A.DISKUSI
Kebenaran suatu teori yang dikemukakan oleh
setiap ilmuwan matematika,maupun para ahli merupakan hal yang sangat menetukan
reputasi mereka Untuk mendapatkan hal tersebut, mereka akan berusaha untuk
mengaitkan suatu fakta atau data dengan fakta lainya melalui suatu proses
penalaran yang sahih atau valid. Setiap pernyataan harus ditentukan lebih
dahulu kebenarannya. Adakalanya,mereka harus menegasikan atau membuat
pernyataan baru yang menunjukan pengingkaran atas pernyataan yang ada, dengan
menggunakan perakit ”bukan” atau ”tidak” . Disamping itu mereka harus
menggabungkan dua pernyataan atau lebih dengan menggunakan perakit
“atau”,”dan”,”jika”,”maka”,”maupun”, jika dan hanya jika. Yang dikenal di
matematika sebagai kongjungsi,Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi.
B.PEMBAHASAN
Logika adalah cabang ilmu pengetahuan yang mempelajari
tentang penalaran yang berhubungan dengan pembuktian validitas suatu argumen.
Logika menggunakan metode penalaran berdasarkan validitas suatu argumen. Logika
memberikan suatu metode atau cara yang sistematis dalam berpikir (reasoning).
Terdapat dua metode cara berpikir yang digunakan, yaitu logika proposisi
(proposisional) dan predikat (predikatif). Dengan menggunakan logika diharapkan
dapat mengurangi kesalahan tindakan dalam menghadapi dan menyelesaikan masalah,
sehingga masalah tersebut dapat diselesaikan dengan suatu jawaban yang
dikerjakan dengan sistematis. Cara berpikir dengan benar dengan dasar logika
ini dapat dijadikan program dan dapat dilaksanakan oleh komputer, sehingga
komputer dapat melakukan kemampuan berpikir walaupun secara sederhana.
Ø Pernyataan
dan Proposisi
Pernyataan adalah kalimat yang dapat atau belum dapat
ditentukan nilai kebenarannya. Pernyataan yang dapat ditentukan nilai
kebenarannya benar atau salah, tapi tidak keduanya adalah proposisi. Sedangkan
pernyataan yang belum tentu nilai kebenarannya sering disebut fungsi proposisi
atau kalimat terbuka.
Contoh
pernyataan dengan bahasa :
=== DPR
adalah kumpulan orang hebat.
=== Massa
jenis batu lebih besar daripada massa jenis kayu.
Kalimat pertama merupakan pernyataan yang belum dapat
ditentukan nilai kebenarannya, karena kata DPR bersifat relatif. Sedangkan
kalimat kedua merupakan proposisi, karena nilai kebenarannya dapat ditentukan
yaitu TRUE (benar).
Contoh pernyataan dalam matekatika :
1. Y = 34
2. 43 + 87 =
342
Pernyataan pertama adalah fungsi proposisi, karena
nilai kebenarannya tergantung kepada nilai variabel y. Sedangkan pernyataan
kedua merupakan proposisi, karena dapat ditentukan kebenarannya yaitu FALSE
(salah).
Contoh di
dunia informatika (misal pemrograman java) :
1. a <=
30%4;
2. y == 24; y =
4*6;
Kalimat pertama nilai kebenarannya relatif, tergantung
pada pernyataan yang mengikutinya (kalimat terbuka). Sedangkan kalimat kedua
dapat ditentukan nilai kebenarannya karena nilai y sudah ditentukan yaitu 20
(proposisi).
Logika proposisional adalah pernyataan majemuk yang
disusun dari pernyataan-pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan penghubung
Boolean (Boolean Connectives).
Ø Notasi
Seringkali, beberapa kalimat perlu digabungkan untuk
menjadi kalimat yang lebih panjang. Misalnya kalimat “8 adalah bilangan genap
dan habis dibagi 3” merupakan gabungan dari kalimat “8 adalah bilangan genap”
dan kalimat “9 habis dibagi 3”.
Dalam logika proposisional dikenal enam macam
penghubung (connective), yaitu not, and, or, if-then, if-and-if-only, serta
if-then-else. Berikut adalah notasi dari penghubung pada logika
proposisional :
Contoh
penulisan dengan notasi konvensional dari kalimat :
(if ((p or
q) and (if q then r)) then (if (p and q) then (not r)))
adalah :
((p V q) /\
(q → r)) → ((p /\ q) → ~r)
Ø Interpretasi
Interprestasi adalah pemberian (assignment) nilai
kebenaran (true atau false) pada setiap simbol proposisi dari suatu kalimat
logika. Sebagai contoh, perhatikan kalimat :
not p or q
Salah satu interprestasi untuk kalimat di atas memberi
nilai false ke p dan nilai true ke q. interprestasi terhadap
nilai p dan q dapat ditulis:
p false
q true
Semua kemunculan dari suatu simbol proposisional dalam
kalimat logika akan diberi nilai sama oleh suatu interprestasi yang diberikan,
sebagai contoh kalimat:
not p and (not q) or p
Dua kemunculan p masing-masing akan diberi
nilai sama. Demikian juga kemunculan terhadap proposisi q.
- Aturan
Semantik
Aturan semantik adalah suatu aturan yang digunakan
untuk menentukan arti suatu kalimat logika atau nilai kebenaran (truth value)
dari suatu kalimat (sentence). Berikut adalah aturan-aturan semantik untuk
kalimat logika :
- Negasi
(NOT)
Negasi adalah pernyataan lagi yang bernilai benar jika
pernyataan semula salah dan bernilai salah jika pedrnyataan semula benar.
Tabel kebenarannya
·
Konjungsi (AND)
Konjungsi bernilai benar apabila
kedua proposisi penyusunnya bernilai benar. Apabila salah satu proposisi
penyusunnya bernilai salah, atau bahkan keduanya bernilai salah, maka konjungsi
bernilai salah (false).
- Disjungsi
Disjungsi bernilai salah apabila
kedua proposisi penyusunnya bernilai salah. Apabila salah satu proposisi
penyusunnya bernilai benar, atau bahkan keduanya bernilai benar, maka konjungsi
bernilai benar (true).
Dari
aturan konjungsi dan disjungsi, muncul sifat-sifat aljabar logika, yaitu :
ü Hukum
Idempoten
p v
p = p
p /\ p
= p
ü Hukum
Komutatif
p
v
= q v p
p /\
q = q /\ p
ü Hukum
Asosiatif
(p v q) v
r = p v (q v r)
(p /\ q) /\
r = p /\ (q /\ r)
ü Hukum
Distributif
p v (q /\
r) = (p v q) /\ (p v r)
p /\ (q v r)
= (p /\ q) v (p /\ r)
ü Hukum
Identitas
p v
false = p
p /\
true = p
p v
true = true
p /\
false = false
ü Hukum Komplemen
p v
~p = true
p /\
~p = false
~(~p)
= p
ü Hukum De
Morgan
~(p v
q) = ~p v ~q
~(p /\
q) = ~p /\ ~q
- Implikasi
(IF-THEN)
Implikasi
bernilai “false” bila anteseden “true” dan konsekuen-nya bernilai
“false”.
Jika
(p → q) adalah implikasi maka (q → p) adalah konvers, (~p → ~q) adalah invers,
dan (~q → ~p) adalah kontraposisi. Jika (p → q) bernilai “true” maka belum
tentu (q → p), (~p → ~q), (~q → ~p) bernilai “true”.
·
Ekuivalensi (IF-AND-IF-ONLY)
Ekuivalensi atau biimplikasi bernilai “true” jika
nilai kebenaran dari proposisi penyusunnya adalah sama.
- Kondisional
(IF-THEN-ELSE)
Nilai kebenaran dari kondisional (yaitu if p then q
else r) adalah sama dengan nilai kebenaran dari q (jika nilai p
adalah true) dan bernilai sama dengan r (jika nilai p adalah
false). Dengan kata lain, jika p benar berlaku q dan jika p
salah maka yang berlaku adalah r.
Ø Tabel
Kebenaran
Tabel kebenaran adalah suatu metode untuk menentukan
nilai kebenaran dari suatu kalimat logika dengan menginterpretasi setiap simbol
proposisi dan menggunakan aturan semantik (semantic rule). Table kebenaran
adalah cara yang paling jelas untuk membuktikan validitas suatu kalimat dengan
menentukan kemungkinan nilai-nilai kebenaran yang diberikan pada simbol-simbol
proposisinya. Jadi, bila suatu kalimat memuat simbol-simbol proposisi p
dan q, ada empat kemungkinan interpretasi yang perlu kita perhatikan,
yaitu:
p bernilai
“true” dan q bernilai “true”
p bernilai
“true” dan q bernilai “false”
p bernilai
“false” dan q bernilai “true”
p bernilai
“false” dan q bernilai “false
Proses
tersebut dapat difasilitasi dengan suatu tabel, yang disebut tabel kebenaran.
Ø Pohon
Semantik
Pohon semantik adalah metode lain untuk menentukan
nilai kebenaran (truth value) dari suatu kalimat logika, yaitu dengan
menggunakan kalimat teknik semantik. Teknik ini akan digambarkan sebagai mana
berikut:
If( p if and only if q) then( if (not q) then (p and r)
Kalimat di atas adalah kalimat yang valid. Artinya,
semua intepretasi yang dimungkinkan setiap simbol proposisi akan menghasilkan
nilai “true”. Pada gambar berikut, ada dua kemungkinan interpretasi yang
diberikan pada proposisi q, yaitu true dan fals
Pada pohon semantik di atas, nilai q
adalah true di node 2. Dengan demikian, untuk menunjukkan nilai kebenaran dari
kalimat logika tersebut, setiap kemunculan proposisi q ditandai dengan
huruf T (yang artinya, proposisi q diintepretasi dengan nilai true).
if(p if and only if q)then (if (not q) then (p and r)
Setelah kemunculan proposisi p diintepretasi
dengan nilai T maka nilai dari not p adalah F (false) sesuai negation
rule. Selanjutnya, berdasarkan aturan sematik (implication rule),
nilai kebenaran dari if(not q) then (p and r) adalah true, tanpa harus
mengetahui nilai dari ( p and r ). Karena nilai dari if(not q)
then (p and r) adalah true maka nilai kalimat logika secara
keseluruhan bernilai true.
Ø Sifat-sifat
kalimat logika
Suatu kalimat logika, setelah proposisi – proposisi
penyusunnya diinterpretasi dengan nilai true dan false, akan
menghasilkan suatu nilai kebenaran. Ada tiga katagori nilai yang dihasilkan,
yang menunjukkan sifat dari kalimat logika tersebut. Sifat-sifat yang dimiliki
kalimat logika adalah valid, satisfiable, dan kontradiksi (
contradictory ).
ü Valid
(Tautologi)
Suatu
kalimat logika f bersifat valid jika untuk setiap interpretasi I for f, f
bernilai true.
Contoh:
1. (f and g) if
and only if ( g and f)
2. F or not f
3. [p and (if r
then s)] if only if [if r then s) and p]
4. (p or q) or
not (p or q)
5. (if p then
not q) if and only if not (p and q)
6. If (if p
then q) then q
7. (if p then
q) and (not r and s)
ü Kontradiksi
Suatu
kalimat logika f bersifat kontradiksi jika untuk setiap interpretation I for f,
f bernilai false.
Contoh:
1. p and not p
2. [(p or q)
and not r] if and only if [ (if p then r) and (if q then r)]
Ø Metode
Inferensi
Metode inferensi adalah suatu teknik/metode untuk
menurunkan kesimpulan berdasarkan hipotesa yang diberikan, tanpa harus
menggunakan table kebenaran. Beberapa metode inferensi untuk menentukan
validitas adalah sebagai berikut :
C. CONTOH SOAL
1. Modus
Ponens
Pada suatu implikasi “jika p maka q” yang diasumsikan
bernilai benar, dan apabila juga diketahui bahwa nilai dari anteseden (p)
bernilai benar, maka nilai q juga harus benar.
p —> q
p
q
Contoh :
Jika suatu
bilangan habis dibagi 2 maka bilangan tersebut adalah bilangan genap.
Suatu
bilangan habis dibagi 2.
Bilangan
tersebut adalah bilangan genap.
2. Modus
Tollens
Suatu implikasi “jika p maka q” akan selalu ekuivalen
dengan kontraposisinya, yaitu “jika bukan q maka bukan p”. dengan demikian,
hipotesa kedua dan kesimpulan merupakan kontraposisi hipotesa pertama pada
modus ponens.
p –> q
~q
~p
Contoh :
Jika hasil
jual lebih dari hasil beli maka penjual itu untung.
Penjual itu
tidak untung.
Hasil jual
tidak lebih dari pembelian.
3. Silogisme
Prinsip Silogisme adalah sifat transitif dari
implikasi. Artinya, jika suatu implikasi p à q dan q à r keduanya bernilai
benar maka implikasi p à q pasti bernilai benar.
p –> q
q –> r
p –> r
Contoh :
Jika ia
belajar dengan baik maka ia akan pandai.
Jika ia
pandai maka ia akan lulus dalam ujian.
Jika ia
belajar dengan baik ia akan lulus dalam ujian.
4. Negasi
(NOT)
Negasi adalah pernyataan lagi yang bernilai benar jika
pernyataan semula salah dan bernilai salah jika pedrnyataan semula benar.
Tabel kebenaran
5. Konjungsi
(AND)
Konjungsi
bernilai benar apabila kedua proposisi penyusunnya bernilai benar. Apabila
salah satu proposisi penyusunnya bernilai salah, atau bahkan keduanya bernilai
salah, maka konjungsi bernilai salah (false).
6. Disjungsi
Disjungsi bernilai salah apabila kedua proposisi
penyusunnya bernilai salah. Apabila salah satu proposisi penyusunnya bernilai
benar, atau bahkan keduanya bernilai benar, maka konjungsi bernilai benar
(true).
D. SOAL
TEST
1. Determine the truth value of the following statements ...?
If x ^ 2 = 4 then x = 2
2. Determine the truth value if x = -2 then x ^ 2 = 4 .. .?
3. Determine the truth value if 3x + 4 and x Є B, then x = 1 .....?
4. Determine the truth value of 3 + 2 = 6 ↔ 4 + 2 = 5 ...?
5. Determine the truth value of 3 + 2 = 5 ↔ 4 + 2 = 5 ....?
6. Tenttukan the truth value of 3 + 2 = 5 or the capital Jakarta in Aceh
7. if p: 10 is divisible by 5
Q: Is a prime number 8
State in everyday sentences the statements below and then specify the value kebenaranya.
~ P
~ Q
8. If a: Lisa and a beautiful girl
b: a smart girl Lisa
Express the following statements by using a, b and the symbols of mathematical logic.
Lisa is a beautiful girl but not smart
9. If a. Via a nice girl and
b. Via never an overbearing
Express the following statements by using p, q and the symbol of mathematical logic
a. Via girls are not good and proud
b. Via good girls at once is not arrogant
10. Make a truth table for a compound statement (Biimplikasi) of the two statements p and q are denoted by p ↔ q is equal to (p ↔ q) Ʌ (p ↔ q) ...?
11. Give one example of the implication of the phrase ...?
12. Give one example Biimplikasi sentence ....?
13. What is a kongjungsi ....?
14.Apa Negation is a ...?
ANSWER KEY
1. Benar
2. Benar
3. Salah
4. Salah
5. Salah
6. Benar
7. a.
10 tidak habis dibagi 5
b.
8 bukan bilangan Prima
8. a. a
9. a.
b. a
10. Tabel kebenaran Biimplikasi
P
|
q
|
p
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
B
|
11. Kalimat
Implikasi :
jika hujan turun maka jalanan basah
12. Kalimat
Biimplikasi :
Sebuah segitiga adalah segitiga sama sisi jika dan hanya jika segitigs
sisinya sama panjang
13. Conjunction
is true if both constituent propositions is true. When
one of its constituent propositions is false, or even both of them is false,
then the conjunction is false (false).
14. Negation
is another statement that is true if any of the original statement is false and
if true original pedrnyataan.
Truth table.
Truth table.
DAFTAR
PUSTAKA
Kusuma,Y.S.(1986).Logika
matematika.Bandung:Tarsito
Priyitno,E.(1995).Logika
matematika.Yogyakarta: PPPG Matematika