fungsi nilai kebenaran

met core gan....kesempatan kali ini ane mau bebagi dikit makalah tentang fungsi nilai kebenaran.

ok dah langsung aja yach.....

Prepared by: 

LAKSMI LINDO          (11 313 390)

KARLOS TEMPO         (07 311 045)

 BAB I

A.PENDAHULUAN

Kebenaran suatu teori yang dikemukakan oleh setiap ilmuwan matematika,maupun para ahli merupakan hal yang sangat menetukan reputasi mereka Untuk mendapatkan hal tersebut, mereka akan berusaha untuk mengaitkan suatu fakta atau data dengan fakta lainya. Logika adalah cabang ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang penalaran yang berhubungan dengan pembuktian validitas suatu argumen. Cara berpikir dengan benar dengan dasar logika ini dapat dijadikan program dan dapat dilaksanakan oleh komputer, sehingga komputer dapat melakukan kemampuan berpikir walaupun secara sederhana.

BAB II

A.DISKUSI 

 Kebenaran suatu teori yang dikemukakan oleh setiap ilmuwan matematika,maupun para ahli merupakan hal yang sangat menetukan reputasi mereka Untuk mendapatkan hal tersebut, mereka akan berusaha untuk mengaitkan suatu fakta atau data dengan fakta lainya melalui suatu proses penalaran yang sahih atau valid. Setiap pernyataan harus ditentukan lebih dahulu kebenarannya. Adakalanya,mereka harus menegasikan atau membuat pernyataan baru yang menunjukan pengingkaran atas pernyataan yang ada, dengan menggunakan perakit ”bukan” atau ”tidak” . Disamping itu mereka harus menggabungkan dua pernyataan atau lebih dengan menggunakan perakit “atau”,”dan”,”jika”,”maka”,”maupun”, jika dan hanya jika. Yang dikenal di matematika sebagai kongjungsi,Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi.

B.PEMBAHASAN

Logika adalah cabang ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang penalaran yang berhubungan dengan pembuktian validitas suatu argumen. Logika menggunakan metode penalaran berdasarkan validitas suatu argumen. Logika memberikan suatu metode atau cara yang sistematis dalam berpikir (reasoning). Terdapat dua metode cara berpikir yang digunakan, yaitu logika proposisi (proposisional) dan predikat (predikatif). Dengan menggunakan logika diharapkan dapat mengurangi kesalahan tindakan dalam menghadapi dan menyelesaikan masalah, sehingga masalah tersebut dapat diselesaikan dengan suatu jawaban yang dikerjakan dengan sistematis. Cara berpikir dengan benar dengan dasar logika ini dapat dijadikan program dan dapat dilaksanakan oleh komputer, sehingga komputer dapat melakukan kemampuan berpikir walaupun secara sederhana.

Ø  Pernyataan dan Proposisi

Pernyataan adalah kalimat yang dapat atau belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Pernyataan yang dapat ditentukan nilai kebenarannya benar atau salah, tapi tidak keduanya adalah proposisi. Sedangkan pernyataan yang belum tentu nilai kebenarannya sering disebut fungsi proposisi atau kalimat terbuka.

Contoh pernyataan dengan bahasa :

=== DPR adalah kumpulan orang hebat.

=== Massa jenis batu lebih besar daripada massa jenis kayu.

Kalimat pertama merupakan pernyataan yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya, karena kata DPR bersifat relatif. Sedangkan kalimat kedua merupakan proposisi, karena nilai kebenarannya dapat ditentukan yaitu TRUE (benar).

Contoh pernyataan dalam matekatika :

1.      Y = 34

2.      43 + 87 = 342

Pernyataan pertama adalah fungsi proposisi, karena nilai kebenarannya tergantung kepada nilai variabel y. Sedangkan pernyataan kedua merupakan proposisi, karena dapat ditentukan kebenarannya yaitu FALSE (salah).

Contoh di dunia informatika (misal pemrograman java) :

1.      a <= 30%4;

2.      y == 24; y = 4*6;

Kalimat pertama nilai kebenarannya relatif, tergantung pada pernyataan yang mengikutinya (kalimat terbuka). Sedangkan kalimat kedua dapat ditentukan nilai kebenarannya karena nilai y sudah ditentukan yaitu 20 (proposisi).

Logika proposisional adalah pernyataan majemuk yang disusun dari pernyataan-pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan penghubung Boolean (Boolean Connectives).

Ø  Notasi

Seringkali, beberapa kalimat perlu digabungkan untuk menjadi kalimat yang lebih panjang. Misalnya kalimat “8 adalah bilangan genap dan habis dibagi 3” merupakan gabungan dari kalimat “8 adalah bilangan genap” dan kalimat “9 habis dibagi 3”.

Dalam logika proposisional dikenal enam macam penghubung (connective), yaitu not, and, or, if-then, if-and-if-only, serta if-then-else. Berikut adalah notasi dari penghubung pada logika proposisional :

 

Contoh penulisan dengan notasi konvensional dari kalimat :

(if ((p or q) and (if q then r)) then (if (p and q) then (not r)))

adalah :

((p V q) /\ (q → r)) → ((p /\ q) → ~r)

Ø  Interpretasi

Interprestasi adalah pemberian (assignment) nilai kebenaran (true atau false) pada setiap simbol proposisi dari suatu kalimat logika. Sebagai contoh, perhatikan kalimat :

not p or q

Salah satu interprestasi untuk kalimat di atas memberi nilai false ke p dan nilai true ke q. interprestasi terhadap nilai p dan q dapat ditulis:

p false

q true 

Semua kemunculan dari suatu simbol proposisional dalam kalimat logika akan diberi nilai sama oleh suatu interprestasi yang diberikan, sebagai contoh kalimat:

 not p and (not q) or p

Dua kemunculan p masing-masing akan diberi nilai sama. Demikian juga kemunculan terhadap proposisi q.

- Aturan Semantik

Aturan semantik adalah suatu aturan yang digunakan untuk menentukan arti suatu kalimat logika atau nilai kebenaran (truth value) dari suatu kalimat (sentence). Berikut adalah aturan-aturan semantik untuk kalimat logika :

• Negasi (NOT)

Negasi adalah pernyataan lagi yang bernilai benar jika pernyataan semula salah dan bernilai salah jika pedrnyataan semula benar.

Tabel kebenarannya

·         Konjungsi (AND)

Konjungsi bernilai benar apabila kedua proposisi penyusunnya bernilai benar. Apabila salah satu proposisi penyusunnya bernilai salah, atau bahkan keduanya bernilai salah, maka konjungsi bernilai salah (false).

• Disjungsi

Disjungsi bernilai salah apabila kedua proposisi penyusunnya bernilai salah. Apabila salah satu proposisi penyusunnya bernilai benar, atau bahkan keduanya bernilai benar, maka konjungsi bernilai benar (true).

 Dari aturan konjungsi dan disjungsi, muncul sifat-sifat aljabar logika, yaitu :

ü  Hukum Idempoten

p v p            = p

p /\ p          = p

ü  Hukum Komutatif

p v               = q v p

p /\ q            = q /\ p

ü  Hukum Asosiatif

(p v q) v r    = p v (q v r)

(p /\ q) /\ r    = p /\ (q /\ r)

ü  Hukum Distributif

p v (q /\ r)    = (p v q) /\ (p v r)

p /\ (q v r)    = (p /\ q) v (p /\ r)

ü  Hukum Identitas

p v false      = p

p /\ true       = p

p v true       = true

p /\ false      = false

ü  Hukum Komplemen

p v ~p         = true

p /\ ~p         = false

~(~p)           = p

ü  Hukum De Morgan

~(p v q)       = ~p v ~q

~(p /\ q)       = ~p /\ ~q

• Implikasi (IF-THEN)

Implikasi bernilai “false” bila anteseden “true” dan konsekuen-nya bernilai “false”.

 Jika (p → q) adalah implikasi maka (q → p) adalah konvers, (~p → ~q) adalah invers, dan (~q → ~p) adalah kontraposisi. Jika (p → q) bernilai “true” maka belum tentu (q → p), (~p → ~q), (~q → ~p) bernilai “true”.

·         Ekuivalensi (IF-AND-IF-ONLY)

Ekuivalensi atau biimplikasi bernilai “true” jika nilai kebenaran dari proposisi penyusunnya adalah sama.

• Kondisional (IF-THEN-ELSE)

Nilai kebenaran dari kondisional (yaitu if p then q else r) adalah sama dengan nilai kebenaran dari q (jika nilai p adalah true) dan bernilai sama dengan r (jika nilai p adalah false). Dengan kata lain, jika p benar berlaku q dan jika p salah maka yang berlaku adalah r.

 

Ø  Tabel Kebenaran

Tabel kebenaran adalah suatu metode untuk menentukan nilai kebenaran dari suatu kalimat logika dengan menginterpretasi setiap simbol proposisi dan menggunakan aturan semantik (semantic rule). Table kebenaran adalah cara yang paling jelas untuk membuktikan validitas suatu kalimat dengan menentukan kemungkinan nilai-nilai kebenaran yang diberikan pada simbol-simbol proposisinya. Jadi, bila suatu kalimat memuat simbol-simbol proposisi p dan q, ada empat kemungkinan interpretasi yang perlu kita perhatikan, yaitu:

p bernilai “true” dan q bernilai “true”

p bernilai “true” dan q bernilai “false”

p bernilai “false” dan q bernilai “true”

p bernilai “false” dan q bernilai “false

Proses tersebut dapat difasilitasi dengan suatu tabel, yang disebut tabel kebenaran.

Ø  Pohon Semantik

Pohon semantik adalah metode lain untuk menentukan nilai kebenaran (truth value) dari suatu kalimat logika, yaitu dengan menggunakan kalimat teknik semantik. Teknik ini akan digambarkan sebagai mana berikut:

If( p if and only if q) then( if (not q) then (p and r)

Kalimat di atas adalah kalimat yang valid. Artinya, semua intepretasi yang dimungkinkan setiap simbol proposisi akan menghasilkan nilai “true”. Pada gambar berikut, ada dua kemungkinan interpretasi yang diberikan pada proposisi q, yaitu true dan fals

 Pada pohon semantik di atas, nilai q adalah true di node 2. Dengan demikian, untuk menunjukkan nilai kebenaran dari kalimat logika tersebut, setiap kemunculan proposisi q ditandai dengan huruf T (yang artinya, proposisi q diintepretasi dengan nilai true).

if(p if and only if q)then (if (not q) then (p and r)

Setelah kemunculan proposisi p diintepretasi dengan nilai T maka nilai dari not p adalah F (false) sesuai negation rule. Selanjutnya, berdasarkan aturan sematik (implication rule), nilai kebenaran dari if(not q) then (p and r) adalah true, tanpa harus mengetahui nilai dari ( p and r ). Karena nilai dari if(not q) then (p and r) adalah true maka nilai kalimat logika secara keseluruhan bernilai true.

Ø  Sifat-sifat kalimat logika

Suatu kalimat logika, setelah proposisi – proposisi penyusunnya diinterpretasi dengan nilai true dan false, akan menghasilkan suatu nilai kebenaran. Ada tiga katagori nilai yang dihasilkan, yang menunjukkan sifat dari kalimat logika tersebut. Sifat-sifat yang dimiliki kalimat logika adalah valid, satisfiable, dan kontradiksi ( contradictory ).

ü  Valid (Tautologi)

Suatu kalimat logika f bersifat valid jika untuk setiap interpretasi I for f, f bernilai true.

Contoh:

1.      (f and g) if and only if ( g and f)

2.      F or not f

3.      [p and (if r then s)] if only if [if r then s) and p]

4.      (p or q) or not (p or q)

5.      (if p then not q) if and only if not (p and q)

6.      If (if p then q) then q

7.      (if p then q) and (not r and s)

ü  Kontradiksi

Suatu kalimat logika f bersifat kontradiksi jika untuk setiap interpretation I for f, f bernilai false.

Contoh:

1.      p and not p

2.      [(p or q) and not r] if and only if [ (if p then r) and (if q then r)]

Ø  Metode Inferensi

Metode inferensi adalah suatu teknik/metode untuk menurunkan kesimpulan berdasarkan hipotesa yang diberikan, tanpa harus menggunakan table kebenaran. Beberapa metode inferensi untuk menentukan validitas adalah sebagai berikut :

C.  CONTOH SOAL

1. Modus Ponens

Pada suatu implikasi “jika p maka q” yang diasumsikan bernilai benar, dan apabila juga diketahui bahwa nilai dari anteseden (p) bernilai benar, maka nilai q juga harus benar.

p —> q

p

q

Contoh :

Jika suatu bilangan habis dibagi 2 maka bilangan tersebut adalah bilangan genap.

Suatu bilangan habis dibagi 2.

Bilangan tersebut adalah bilangan genap.

2. Modus Tollens

Suatu implikasi “jika p maka q” akan selalu ekuivalen dengan kontraposisinya, yaitu “jika bukan q maka bukan p”. dengan demikian, hipotesa kedua dan kesimpulan merupakan kontraposisi hipotesa pertama pada modus ponens.

p –> q

~q

~p

Contoh :

Jika hasil jual lebih dari hasil beli maka penjual itu untung.

Penjual itu tidak untung.

Hasil jual tidak lebih dari pembelian. 

3. Silogisme

Prinsip Silogisme adalah sifat transitif dari implikasi. Artinya, jika suatu implikasi p à q dan q à r keduanya bernilai benar maka implikasi p à q pasti bernilai benar.

p –> q

q –> r

p –> r

Contoh :

Jika ia belajar dengan baik maka ia akan pandai.

Jika ia pandai maka ia akan lulus dalam ujian.

Jika ia belajar dengan baik ia akan lulus dalam ujian.

4. Negasi (NOT)

Negasi adalah pernyataan lagi yang bernilai benar jika pernyataan semula salah dan bernilai salah jika pedrnyataan semula benar.

Tabel kebenaran

5. Konjungsi (AND)

Konjungsi bernilai benar apabila kedua proposisi penyusunnya bernilai benar. Apabila salah satu proposisi penyusunnya bernilai salah, atau bahkan keduanya bernilai salah, maka konjungsi bernilai salah (false).

6. Disjungsi

Disjungsi bernilai salah apabila kedua proposisi penyusunnya bernilai salah. Apabila salah satu proposisi penyusunnya bernilai benar, atau bahkan keduanya bernilai benar, maka konjungsi bernilai benar (true).

D.  SOAL TEST 

1.  Determine the truth value of the following statements ...?
     If x ^ 2 = 4 then x = 2
2.  Determine the truth value if x = -2 then x ^ 2 = 4 .. .?
3.  Determine the truth value if 3x + 4 and x Є B, then x = 1 .....?
4.  Determine the truth value of 3 + 2 = 6 ↔ 4 + 2 = 5 ...?
5.  Determine the truth value of 3 + 2 = 5 ↔ 4 + 2 = 5 ....?
6.  Tenttukan the truth value of 3 + 2 = 5 or the capital Jakarta in Aceh
7.  if p: 10 is divisible by 5
                Q: Is a prime number 8
    State in everyday sentences the statements below and then specify the value kebenaranya.
    ~ P
    ~ Q
8.  If a: Lisa and a beautiful girl
               b: a smart girl Lisa
     Express the following statements by using a, b and the symbols of mathematical logic.
     Lisa is a beautiful girl but not smart
9.  If a. Via a nice girl and
                 b. Via never an overbearing
     Express the following statements by using p, q and the symbol of mathematical logic
a.  Via girls are not good and proud
b.  Via good girls at once is not arrogant
10.  Make a truth table for a compound statement (Biimplikasi) of the two statements p and q are denoted by p ↔ q is equal to (p ↔ q) Ʌ (p ↔ q) ...?
11.  Give one example of the implication of the phrase ...?
12.  Give one example Biimplikasi sentence ....?
13. What is a kongjungsi ....?
14.Apa Negation is a ...?

ANSWER KEY

1.  Benar

2.  Benar

3.  Salah

4.  Salah

5.  Salah

6.  Benar

7.  a.  10 tidak habis dibagi 5

b. 8 bukan bilangan Prima

 8.   a. a

 9.   a.

                        b. a

 10.  Tabel kebenaran Biimplikasi

P	q	p q
B B S S	B S B S	B S S B

11.  Kalimat Implikasi :

                                                    jika hujan turun maka jalanan basah

12.  Kalimat Biimplikasi : 

   Sebuah segitiga adalah segitiga sama sisi jika dan hanya jika segitigs sisinya sama panjang

13.  Conjunction is true if both constituent propositions is true. When one of its constituent propositions is false, or even both of them is false, then the conjunction is false (false).

14.  Negation is another statement that is true if any of the original statement is false and if true original pedrnyataan.
Truth table.

DAFTAR PUSTAKA

  

Kusuma,Y.S.(1986).Logika matematika.Bandung:Tarsito

Priyitno,E.(1995).Logika matematika.Yogyakarta: PPPG Matematika